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So, Show’s Over!

Ich habe mir soeben ununterbrochen mehrere Nächte in Folge um die Ohren geschlagen, um die ganzen Einsendungen zu den Rätseln, die ich vor 14 Tagen gestellt hatte, zu bearbeiten und auszuwerten. 😎

Die gute Nachricht für alle Rätselfreunde: Level 3 werde ich heute aus Zeitgründen noch offen lassen, ihr habt also noch ein bisschen.

Vielleicht auch als Heranführung möchte ich heute kurz 2 Strategien beschreiben, wie ich sie persönlich in den Level 1 und 2 anwenden würde.

Wie wir beim nächsten Mal sehen werden, ist die hier vorgeschlagene Lösung nicht eindeutig und im Fall von Level 2 könnte man sogar behaupten nicht optimal! Eine im Durchschnitt bessere Lösung würde aber heute etwas den Rahmen sprengen.

Level 0: Vorbemerkungen

Ich gebe vorweg zu: Ich habe euch ein bisschen unnötig verwirrt. Es gibt nämlich nur eine sinnvolle Reihenfolge, in der die Teilnehmer eines Teams ihre Hüte erraten können:

Der Hinterste fängt an und dann der Reihe nach nach vorne!

Eine andere Ratereihenfolge ergibt in keinem der Level einen Sinn. Ein Teilnehmer, der weiter vorne steht, kann nämlich unmöglich irgend eine Information an einen Teilnehmer weiter hinten weitergeben, die dieser bereits nicht selber sieht. Wenn Person Nummer 4 beispielsweise zuerst ihren Hut erraten würde und anschließend die hinter ihr stehende Person Nummer 5, sind alle Informationen, die Person 4 bei ihrem Tipp hatte, auch Nummer 5 zu diesem Zeitpunkt bekannt gewesen und somit hätte diese genauso gut zuerst raten (und eventuell noch eine wichtige Information weitergeben) können.

Es gibt auch noch eine zweite allgemeine Vorbemerkung:

Sorry, aber es gibt in keinem der Level eine Strategie, die den Maximalgewinn von 10 Millionen garantiert!

Auch das ist hoffentlich einleuchtend, denn keiner der Teilnehmer eures Teams kann den Hut des Teammitglieds sehen, das ganz hinten steht. Da es zudem immer mindestens einen Hut gibt, der nicht im Spiel ist – wer soll ihm einen Hinweis geben, ob sein Hut nicht doch einer von denen sein könnte, die nicht im Spiel sind?

Ein besonders gemeiner Showmaster könnte sogar, entgegen den Regeln, mitten im Spiel den Hut des hintersten Spielers austauschen und keiner der Teilnehmer würde es merken.

Level 1: Zwei Farben

Nummer 8 (der Spieler ganz hinten, der alle anderen Hüte sieht) fängt an. Er könnte wohlgemerkt die Farbe von Nummer 7 raten und damit „codieren“, aber diese Strategie führt nur für die Hälfte der Teilnehmer zum sicheren Erfolg. Es geht merklich besser:

Eigentlich muss Nummer 8 nämlich nur verraten, wie viele schwarze Hüte er insgesamt vor sich sieht. Den Rest können die einzelnen Teilnehmer dann nämlich ziemlich offensichtlich nacheinander ausrechnen.

Jetzt ist nur die Frage: Wie verrät Nummer 8 diese Zahl, wo er doch auch nur schwarz oder weiß raten darf?

Hierzu nur ein kurzes Beispiel:

In diesem Beispiel würde Spieler Nummer 8 am liebsten die Zahl „3“ codieren, dies ist jedoch ohne Umweg nicht möglich, daher folgender Gedankengang:

Nummer 7 sieht vor sich 3 schwarze Hüte – und weiß somit, dass Nummer 8 vor sich minimal auch 3 schwarze Hüte gesehen haben muss. Maximal kann er 4 gesehen haben, nämlich zusätzlich noch den Hut, den Nummer 7 auf hat.

Die Auswahl muss also nur auf immer eine von 2 aufeinanderfolgenden Zahlen eingeschränkt werden. Zum Glück haben natürliche Zahlen eine Eigenschaft, die es ermöglicht, immer 2 beliebig aufeinanderfolgende Zahlen eindeutig voneinander zu unterscheiden. In der Mathematik ist sie auch als Parität bekannt, aber salopp gesagt geht es hier um:

Gerade oder ungerade.

So lautet eine mögliche Strategie:

• Nummer 8 ratet schwarz, wenn er eine gerade Zahl von schwarzen Hüten vor sich sieht.
• Nummer 8 ratet weiß, wenn er eine ungerade Zahl von schwarzen Hüten vor sich sieht.
• Die anderen Spieler können aus diesem Hinweis sukzessive erfolgreich ihre eigene Hutfarbe erraten.

Im vorliegenden Beispiel hätte Nummer 8 Pech (aber er hätte ohnehin niemals besser als eine 50:50-Chance), also führt die vorgestellte Strategie zu 7 Richtigen und damit zu einem Gewinn von 1 Million €. Diese sind bei richtiger Anwendung der Strategie immer garantiert.

Selbstverständlich sind alle Strategien, in denen die Rollen der Farben „schwarz“ und „weiß“ oder „gerade“ und „ungerade“ vertauscht sind, zur vorgestellten äquivalent.

Level 2: Zahlen statt Farben

Obwohl das Setting drastisch verschieden von Level 1 wirken mag, ist eine ähnliche Strategie von Erfolg gekrönt:

Eigentlich muss Nummer 8 diesmal nur die Summe der Hüte vor ihm nennen, auch hieraus kann jeder andere Teilnehmer seine eigene Zahl trivial folgern.

Natürlich darf auch hier Nummer 8 nicht eine beliebige Zahl nennen, sondern ist auf eine Ziffer 1-9 beschränkt. Um auch hier eine gute Möglichkeit zu finden, um die Summe entsprechend zu „codieren“, rekapitulieren wir die Strategie im Szenario mit nur zwei Farben:

Wichtig war hier nur die Frage, ob die Summe gerade oder ungerade ist, mit anderen Worten: Wenn ich die Summe durch 2 teile, bleibt ein Rest oder geht es auf? (gerade oder ungerade bedeutet nichts anderes)

Dass die Zahl 2 hier so eine besondere Stellung einnimmt, liegt ausschließlich daran, dass es in diesem Szenario nur genau 2 Farben gibt. Aber lässt sich dieses Prinzip nicht auf mehrere verschiedene Farben bzw. Zahlen verallgemeinern?

Natürlich! Und das entscheidende Stichwort lautet auch hier Division mit Rest. Ganz genau so, wie sie sicherlich alle von euch einmal in der Grundschule durchgekaut haben müssen.

• Nummer 8 zählt alle Zahlen auf den Hüten, die er vor sich sieht, zusammen und teilt das Ergebnis durch 9, weil es 9 mögliche Hüte („Farben“) gibt. Er ratet den Rest, der bei dieser Division bleibt! (Da „0“ als Rest nicht geraten werden darf, wird er einfach durch „9“ ersetzt)
• Alle anderen Spieler können nur ihrerseits die Hüte addieren und eindeutig bestimmen, welche Zahl noch fehlt, um auf den angesagten Rest zu kommen.

Beispiel gefällig? Angenommen die Teilnehmer stehen, mit Blick nach rechts, in folgender Reihenfolge:

   

Jetzt rechnet der hinterste Spieler: und 33 ergibt bei Division durch 9 einen Rest von 6, also wird Hutnummer 6 geraten (dass er hiermit selbstverständlich falsch liegt, ist sekundär, wichtiger war die Informationsweitergabe für die Teamkollegen).

Jetzt rechnet Spieler Nummer 7: ergibt bei Division durch 9 einen Rest von 3, mein Hintermann hat aber einen Rest von 6 gesehen! Also fehlen noch genau 3, die ich folglich selbst auf dem Kopf haben muss.

Aus der Perspektive von Spieler Nummer 6: ergibt einen Rest von 4. Die 3, die mein Hintermann soeben geraten hat, zähle ich noch dazu, ergibt einen Rest von 7. Der hinterste Spieler hatte jedoch einen Rest von 6 gesehen. Eine negative Zahl kann ich nicht auf dem Kopf haben, also addieren sich mein Hut und der Rest von 7 insgesamt zu und ich trage dementsprechend eine 8.

Auch mit dieser Strategie ist ein Gewinn von 1 Million € garantiert – die Wahrscheinlichkeit, dass es durch Glück der Hauptgewinn wird, ist zugegebenermaßen geringer, aber damit lässt sich doch leben, oder?

Streng genommen wäre die Strategie, die ich beim nächsten Mal vorstelle, auch in diesem Szenario optimaler, aber der Gewinn im Worst Case bleibt identisch.

Im vorangegangenen Beispiel wird euch sicherlich aufgefallen sein, dass Spieler Nummer 8 mit der Hutnummer 6 einen Hut rät, den in Wahrheit einer seiner Vordermänner trägt. Wenn dieser Spieler an der Reihe ist, wird er durch Rechnen wieder die Hutnummer 6 raten – und diesmal im Gegensatz zu Spieler Nummer 8 Recht haben.

Die vorgestellte Strategie funktioniert jedoch nicht, wenn jede Nummer nur maximal von einem Teilnehmer geraten werden darf. Hier wird es nächste Woche richtig interessant und ich akzeptiere bis dahin auch noch Strategievorschläge für dieses Rätsel. 🙂

Zugegeben, das noch ausstehende Level ist vielleicht mein absolutes mathematisches Lieblingsrätsel. 🙂