Division durch Multiplikation: Die d-Methode

Division durch Multiplikation: Die d-Methode

Gibt’s eigentlich was schöneres, als bei 35° im Schatten bei Ventilator und kühlen Getränken sich in der nackten Schönheit der Mathematik zu sonnen? Ich denke nicht. 🙂

Dies ist offensichtlich der zweite Teil einer Miniserie über das Kopfrechnen, in dem ich gerne eine Rechenmethode vorstellen möchte, die meines Erachtens in ihrer Allgemeinheit noch zu wenig wertgeschätzt wird und die sich naheliegenderweise auf die letzte verbleibende Grundrechenart, die Division, bezieht.

Disclaimer: Das 7. Level führt dann ein wenig zur eigentlichen Mathematik, ich werde es jedoch voraussichtlich erst in 14 Tagen nachreichen können, tut mir leid. Heute stehe ich leider etwas unter Zeitdruck und ich möchte, dass ihr den mathematischen Beweis nachvollzieht, eine gehastete Formulierung ist und wäre da maximal kontraproduktiv.

Der wahrscheinlich, abgesehen vom fehlenden Level, schwächste Teil dieses Beitrags liegt im historischen Abriss, denn um ehrlich zu sein, sehr viel belastbares Quellenmaterial lässt sich hierzu nicht finden. Ich meine mal gelesen zu haben, dass einer der größten deutschen Mathematiker aller Zeiten, Carl Friedrich Gauß, auf diese Art einigen seiner Schüler die Division bzw. die Umwandlung eines Bruchs in eine Dezimalzahl erklärt haben soll.

„Entwickelt“ habe ich das folgende Verfahren für mich persönlich jedoch größtenteils durch selbstständiges Ausprobieren.

Eine gute Quelle, die diesen „Trick“ nicht nur anhand von Spezialbeispielen, sondern in ihrer doch erstaunlichen Allgemeinheit in intuitiver, nicht formeller Sprache erklärt, konnte eine schnelle Recherche von mir nicht ergeben. Liebe Leser, ich bin selbstverständlich neugierig!

Seriously, auch wenn ich mir mangels Quellenmaterial keine Namensgebung anmaße: Der Tipp, ein cooler Rechentrick könne in irgendeiner Form auf Herrn Gauß zurückgehen, kann gar nicht verkehrt sein. 😎

Carl Friedrich Gauß (1777 – 1855), Quelle: Wikipedia

Level 5: Division durch Multiplikation

Ländliches Baden-Württemberg, gegen Ende des Schuljahres. 8. Klasse Gymnasium, Mathematikunterricht, Thema Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Der Lehrer erklärt anhand einer Beispielaufgabe:

Ein Kind auf einer Neugeborenenstation im Krankenhaus wurde mit der Wahrscheinlichkeit \frac{1}{7} an einem Freitag geboren. Wenn ich unabhängig voneinander 2 Kinder auswähle, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass beide an einem Freitag geboren wurden, jedoch nur (\frac{1}{7})^2. Das sind weit weniger als 5% Wahrscheinlichkeit, könnt ihr ja mal in euren Taschenrechner eingeben.

Das Bild, welches sich in der Folge ergab, entspricht dem Stereotyp eines deutschen Klassenzimmers, speziell in der finalen Phase eines Schuljahres: Vielleicht höchstens 3 von 26 Schülern nahm ihren oder seinen Taschenrechner hervor, der Rest wandte sich entweder tagesaktuellen Gesprächen mit Sitznachbarn zu oder träumte vor sich hin höchstwahrscheinlich in Gedanken, die Menschen in der Pubertät gesünderweise nun einmal denken.

Leider kamen die 3 Schüler jedoch nicht mehr dazu, den Bruch in ihrem Taschenrechner einzugeben, ehe ein verzogener Nerd, der nicht einmal einen Tisch, geschweige denn einen Taschenrechner vor sich hatte, aus der hintersten Reihe dazwischen bellte:

Genauer gesagt beträgt die Wahrscheinlichkeit ungefähr 2,0408163265306 \% Herr Lehrer.

Der verzogene Nerd war ich und ich verspreche euch, wenn Blicke töten hätten können (nicht nur an jenem einen Tag) dieser Beitrag würde nicht mehr von einer lebendigen Person geschrieben werden können.

Wahrscheinlich denken Mitschüler und vielleicht Lehrer bis heute, ich wäre einfach ein nicht erklärbares und übernatürliches Wesen oder so. Ich meine, nicht falsch verstehen, ich bin natürlich awesome *lol* *kotz*, aber eine Gelegenheit, zu erklären, wie ich auf dieses unnötig prollig exakte Ergebnis gekommen bin, wäre mir damals eventuell willkommen gewesen.

Holen wir es heute nach?

Kopfrechnen gewinnt um 2 Stellen gegen die Anzeige des Google-Taschenrechners^^

Ihr seht schon in meiner eingegebenen Rechnung, ich habe den Faktor 100 eingegeben, weil das ursprüngliche Ergebnis eine Prozentangabe gewesen ist. Das wollen wir jetzt natürlich rückgängig machen und betrachten die Dezimalstellenentwicklung in ihrer absoluten Form:

(\frac{1}{7})^2=0,020408163265306...

Einigen von euch dürfte hier wenig Besonderes auffallen, denn bisher habe ich die Regelmäßigkeit noch etwas versteckt gehalten. Schauen wir beispielsweise mal, was passiert, wenn ich zur besseren Lesbarkeit in die Nachkommastellen immer nach 2 Stellen ein Leerzeichen einfüge:

(\frac{1}{7})^2=0, 02 04 08 16 32 65 30 6…

Na, fällt euch etwas auf?

Hinten wird das Muster zwar etwas durchbrochen, aber sieht der vordere Teil der Nachkommastellen nicht verdächtig nach Zweierpotenzen aus?

Wie kommen aber die Zweierpotenzen in eine Aufgabe wie (\frac{1}{7})^2 hinein?

Ihr dürft an dieser Stelle selbstverständlich euren Leseprozess unterbrechen und selber nachdenken, also wenn ihr ambitioniert seid.

Kurze Pause zum Nachdenken^^

Hiermit offenbare ich euch, was damals in meinem Kopf vorging (einer meiner wenigen Gedankengänge, den ich hoffentlich zumindest halbwegs gut erklären kann^^):

Aus dem kleinen Einmaleins: 7*7=49, also rechnen wir jetzt \frac{1}{49}.

Unser erstes, und wichtigstes, Ziel ist, den Nenner (also die Zahl unter dem Bruchstrich) möglichst nah an eine Zehnerpotenz zu kriegen. das ist aktuell leider noch nicht der Fall, 49 ist noch weit weg von den nächsten „runden“ Zahl, der 100.

Das macht aber nichts. Ihr wisst hoffentlich noch (sonst schnell auf Wikipedia schauen), dass man Brüche erweitern, also oben und unten mit der gleichen Zahl multiplizieren kann, ohne dass sich der Wert ändert.

Da 49 von der Größenordnung etwa die Hälfte von 100 ist, ist in diesem Fall verdoppeln (siehe Level 3 im letzten Beitrag) eine gewinnbringende Strategie!

Wenn wir oben und unten verdoppeln, steht da \frac{2}{98}. Das sieht viel freundlicher aus, ist aber immer noch nicht ganz gut genug!

Ich möchte nämlich jetzt, dass oben und unten gleich viele Stellen stehen und ich erkläre euch in meinem übernächsten Beitrag, wieso. Das ist aber gar kein Problem, wir rechnen einfach \frac{02}{98}, eine Null vorne ändert die Zahl nicht. Jetzt sind sowohl der Zähler als auch der Nenner künstlicherweise zweistellige Zahlen.

Wir wollten ursprünglich den Nenner auf eine Zehnerpotenz bringen und hätten es fast geschafft, aber eben auch leider nur fast. Vom Nenner 98 bis zu unserem eigentlichen Ziel, der 100, fehlen uns noch 2. Diese Zahl merken wir uns (ich bezeichne sie im Kopf immer sehr unkreativ mit d für Differenz, daher auch die Überschrift, seid bitte so frei und lasst euch für diese Zahl einen kreativeren Namen einfallen, sie ist echt wichtig!).

Da Zähler und Nenner beide zweistellig sind, berechnen wir unser Ergebnis immer in Zweierblöcken. Hier fangen wir an mit „Null Komma“ (das ist logisch!) und sagen zuerst den Zähler 02 und jeder weitere Block entsteht, indem wir den letzten Block mit d multiplizieren – so lange, wie unser Kopf eben die Multiplikation mitmacht!

Der erste Zweierblock ist 02, wegen d=2 ist der nächste das Doppelte, also 04, der nächste 08, dann 16 usw.

\frac{02}{98}=0, (02) (04) (08) (16) (32) (64) (128) (256) usw.

Warum bricht dieses Muster in der gewöhnlichen Dezimaldarstellung ab der 64?

Nun, wir müssen bedenken, wir rechnen immer in Zweierblöcken und dürfen davon nicht abweichen. Nein, selbst nicht, wenn die Zahlen, die wir eigentlich in diese Blöcke schreiben müssten, größer sind wie die 128 und 256 am Ende obiger Rechnung. Wie lösen wir das?

Antwort: Ganz ähnlich wie bei der Addition, mit „Überlauf“ nämlich. wir dürfen auf keinen Fall die 128 in einen Zweierblock schreiben, also schwappt die 1 vorne einfach über und ganz geschmeidig machen wir aus der vorangehenden 64 eine 65.

Im Prinzip können wir jetzt die 28 zwar wieder hinschreiben, aber auch sie erhält analog einen Überlauf von der 256 und wird dementsprechend eine 30.

Die 56, die jetzt folgen würde, erhält natürlich noch einen viel größeren Überlauf von hinten, es dürfte relativ einleuchtend sein, dass sie mit diesem Überlauf die 60 überschreiten dürfte. Jetzt wird mir persönlich die Rechnerei mit den ganzen Überläufen zu unübersichtlich, also sage ich noch die 6 am Ende und breche die Rechnung hier ab.

15 Nachkommastellen reichen doch auch, oder? 😉

Gut, ich höre euch im Hintergrund schon schreien, dieses Beispiel stinkt doch zum Himmel! Extrem kleiner Zähler und ein Nenner, der sich sehr nah an die 100 heranmultiplizieren lässt, sind natürlich extrem geschönte Voraussetzungen.

Das stimmt und will ich nicht abstreiten, 15 Nachkommastellen sind in vielen Fällen utopisch.

Aber das Verfahren hat weitaus mehr strategische Möglichkeiten, als viele denken und ich behaupte auch nicht mal, alle für mich entdeckt zu haben!

Wir haben jetzt zwar (\frac{1}{7})^2 berechnet, aber wie wäre es zum Beispiel mit \frac{1}{7} ohne Quadrat?

Das müssen wir nicht ausrechnen, denn das hat das deutsche Mathe- und Musikgenie DorFuchs bereits eindrucksvoll für uns erledigt:

Aber mit der letzten Rechnung sind zumindest die ersten Nachkommastellen kein Problem für uns:

Wir wissen, dass wir den Nenner 7 auf die schöne Zahl 98 bringen können, indem wir erst noch mal mit 7 und dann, genau wie soeben, mit 2 erweitern. Im Zähler steht jetzt eine 7*2=14 und der Nenner 98 liefert uns nach wie vor eine Differenz von d=2:

\frac{1}{7}=\frac{14}{98}=0, (14) (28) (56) (112) (224)=0,142857142...

Leider geht aus dieser Rechnung nicht unmittelbar hervor, dass sich die Folge 142857 immer wiederholt, aber dazu nur ein paar Minuten Geduld, das zeigen wir nämlich im nächsten Kapitel.

Zusammenfassend verfahre ich bei Divisionen ehrlich gesagt immer ähnlich:

  • Ist der Zähler größer als der Nenner, ermittle ganzzahligen Anteil durch Testmultiplikation wie an der Fleischertheke, wir konzentrieren uns jetzt nur auf Brüche bzw. Reste, die kleiner als 1 sind.
  • Versuche, den Nenner möglichst nah an eine beliebige Zehnerpotenz heranzumultiplizieren.
  • Zähler und Nenner auf die gleiche Länge bringen, gegebenenfalls durch Nullen im Zähler.
  • d bestimmen, der Abstand von unserem Nenner.
  • Das gesuchte Ergebnis ist Null Komma Zähler und jeder weitere Block ist der vorangegangene Block multipliziert mit d. Überläufe beachten, wenn absehbar ist, dass der nächste Block die Blocklänge übersteigt!

Der zweite Schritt, die geschickte Erweiterung, bedarf manchmal ein wenig Kreativität und Flexibilität. Beispiel \frac{1}{37}.

Wir versuchen, den Nenner 37 möglichst nah an die nächste Zehnerpotenz 100 zu bringen – mit bescheidenem Erfolg. 37*2=74 wäre viel zu weit weg und 37*3=111 ziemlich deutlich über das Ziel hinaus geschossen. Hatten wir einfach Pech?

Nein, die Zahl 111 lässt unsere Alarmglocken schrillen!

Wenn wir 37 auf 111 erweitern können, dann können wir dies nämlich auch auf jede andere dreistellige „Schnapszahl“ tun – und lächelt uns von diesen nicht die Zahl 999 geradezu himmlisch an? 😉

Wir erweitern also doppelt – zuerst mit 3, damit der Nenner zu 111 kommt, und anschließend mit 9 zur 999. Im Zähler steht nach beiden Erweiterungen 3*9=27 aber, da wir wieder oben und unten die gleiche Anzahl Stellen haben möchten, wird hieraus geschmeidig eine 027:

\frac{1}{37}=\frac{027}{999}=0,027027027027...

Im Fall d=1 spricht man auch von einer Periode, weil die Nachkommastellen sich offensichtlich immer wiederholen, Multiplikation mit Eins ändert nix. Genauso liegt eine Periode übrigens auch im Fall d=-1 vor:

Level 6: Negatives d ist auch okay!

Beispiel: \frac{1}{17}. Wie würdet ihr hier passend erweitern?

Leider ist 5*17=85 ziemlich schlecht. Ja, die nächste Erweiterung 6*17=102 wäre deutlich näher, aber treffen wir die Zehnerpotenz hier nicht „von der falschen Seite“?

Schon. Aber zum Glück dürfen wir seit Adam Riese auch mit negativen Zahlen multiplizieren. 😉 wir tun jetzt einfach mal so, als wäre 102 in Wahrheit eine zweistellige Zahl, die einfach nur um zwei über das Ziel hinausgeschossen ist – dementsprechend haben wir zur 100 diesmal eine negative Differenz, d=-2, was den Ansatz allerdings nicht verändert:

\frac{1}{17}=\frac{06}{102}=0, (06) (-12) (24) (-48) (96) usw.

Minus mal Minus gleich Plus gilt nämlich auch hier.

Nanu, aber wie schreiben wir eine negative Zahl wie -12 in eine Nachkommastelle?

Denkt hierzu am besten wie bei Monopoly: Ihr müsst 12€ bezahlen, habt aber kein Kleingeld mehr. Erst mal bekommt ihr jetzt natürlich kein Kleingeld von der Bank geschenkt. Im Gegenteil, ihr müsst einen großen Schein, in dem Fall einen Hunderter, eintauschen und bekommt 88 zurück.

Genauso funktioniert es auch bei Nachkommastellen. Wir bekommen kein Geld, schreiben also hinter dem Komma gedanklich erst mal 0600. Jetzt müssen wir noch 12 bezahlen, obwohl wir kein Kleingeld haben, also tauschen wir einen unserer 6 Hunderter-Scheine ein, bekommen wie erwähnt 88 als Wechselgeld zurück und verbleiben mit 0588.

Genauso funktioniert das auch noch einmal im nächsten Schritt (aus der 24 wird eine 2352) und, wenn ich die Rechnung vor der letzten Stelle abbreche (weil die letzte Stelle, in dem Fall die 6 von der 96, im Verlauf weiterer Rechenschritte garantiert manipuliert werden wird) erhalte ich dementsprechend:

\frac{1}{17}=\frac{06}{102}=0,058823529 usw.

9 statt 15 Nachkommastellen sind für schnelles Kopfrechnen ehrlich gesagt eher der Normalfall, aber auch nicht von der Hand zu weisen.

Ich könnte noch sehr viele Beispiele auf diese Art durchrechnen, möchte aber eigentlich nur noch einen wichtigen „Lifehack“ erwähnen, eine einzige Formel, die beim Kopfrechnen tatsächlich viel häufiger als gedacht von Nutzen ist:

    \[\boxed{7*11*13=1001}\]

Seht unter diesem Link auch einen ganzen Blogbeitrag (englisch) über die Zahl 1001 und, wenn auch aus obiger Formel eher trivial folgende, Rechentricks mit dieser Zahl.

Wir benutzen diese Erkenntnis jetzt für einen alternativen Rechenweg für \frac{1}{7}, erinnert euch an obigen Song.

Um die Formel im Nenner zu nutzen, möchten wir den Bruch sowohl mit 11 als auch mit 13 erweitern, im Zähler steht dann also 11*13. Es gibt viele Wege, diesen zu berechnen, unter anderem auch den „Sägetrick“ von letzter Woche – am einfachsten ist hier aber vermutlich 130+13=143.

Da der Nenner 1001 jetzt abermals knapp über das Ziel hinausgeschossen ist, müssen wir d=-1 nehmen, ist aber für uns kein Problem mehr:

\frac{1}{7}=\frac{143}{1001}=0, (143) (-143) (143) (-143) (143) usw.

Die Nachkommastellen von \frac{1}{7} alternieren also immer zwischen 143 und -143. Aber wie wird das nun im Dezimalsystem gesprochen oder aufgeschrieben?

Nun, in diesem Fall müssen wir 143 bezahlen, haben aber kein Kleingeld, also müssen wir einen von den vorangehenden Tausendern einlösen (es verbleiben hiervon also noch 143-1=142) und erhalten als Wechselgeld, siehe Subtraktion, 1000-143=857. Tadaa:

\frac{1}{7}=\frac{143}{1001}=0,142857142857... und diese Methode beweist auch einwandfrei, dass es immer periodisch so weitergeht. Wie könnte es auch anders sein, DorFuchs hatte offensichtlich recht. 😉

Falls ihr bis hierhin mitgekommen seid, könnt ihr mit ein wenig Übung alle Brüche mit einer 13 im Nenner ausrechnen, hier passiert nämlich nichts anderes.

Zum Abschluss skizzierte ich noch ganz kurz, dass man auch hier Faktoren 2 und 5 im Nenner miteinander „neutralisieren“ kann:

\frac{1}{18}=\frac{1}{2*9} und die 9 im Nenner gefällt uns sehr gut, aber die 2 etwas weniger. Das macht nichts, ich habe letzte Woche die Faktoren 2 und 5 so ein bisschen mit Säuren und Basen in der Chemie verglichen – dementsprechend können wir sie mit einer 5 „neutralisieren“. Wir erweitern mit 5 und sind dabei nicht mal gezwungen, den Nenner explizit auszurechnen:

\frac{1}{18}=\frac{5}{10*9}=\frac{1}{10}*\frac{5}{9}

Der letzte Teil ist ganz einfach auszurechnen, weil der Nenner schon einen Schritt von einer Zehnerpotenz entfernt ist, dementsprechend ist d=1 und wir haben eine Periode, diesmal ist sie sogar einstellig:

\frac{5}{9}=00,55555....

Ich habe vorsichtshalber schon mal eine zusätzliche Null vorne ergänzt, denn Multiplikation mit dem abgespaltenen Faktor \frac{1}{10} bedeutet lediglich, das Komma um eine Stelle nach links zu verschieben:

\frac{1}{18}=0,055555555...

Dies ist eine sogenannte gemischt-periodische Zahl, die am Anfang abweicht und erst später auf die Spur einbiegt, die sich immer wiederholt – und genau durch Kommaverschiebungen dieser Art (und nur hierdurch) entstehen diese.

Einige werden jetzt bestimmt sagen, dass der Trick aber trotzdem nicht immer gleich gut funktioniert und ihr habt recht. Er geht aber in den allermeisten praxisrelevanten Fällen. Alle Nenner bis einschließlich 40 sind meines Erachtens unproblematisch, und wenn man 41*244=10.004 weiß, kann man sogar darüber hinaus (ich gebe allerdings gerne zu, dass dies nicht trivial zu finden ist).

Ich verstehe übrigens total, warum Division nach dieser Art ungerne in den Schulen erklärt wird, hier wird meistens ein „Kochrezept“ angestrebt, welches für alle vergleichbaren Rechnungen genau gleich funktioniert, während man hier individuell etwas Kreativität walten lassen muss:

  • Erweitere ich in die Nähe von 100 oder besser in die Nähe von 1000 oder sogar höher?
  • Bringt es etwas, wenn ich Faktoren 2 und 5 neutralisiere, kann ich einen Faktor \frac{1}{10} abspalten?
  • Kann ich die Formel 7*11*13=1001 gewinnbringend einsetzen?

Im schulischen Kontext schrecken diese vielseitigen Möglichkeiten vermutlich schwächere Schüler ab, wobei diese Schüler leider häufig schon alleine durch den Namen des Faches abgeschreckt werden. Ernsthaft gibt es schon didaktische Vorschläge, das Schulfach „Mathematik“ in höheren Jahrgängen gar nicht mehr zu unterrichten, sondern in Fächer „Informatik“ und „Logik“ aufzuteilen – es könnte der gesellschaftlichen Stigmatisierung des Faches aber ehrlich gesagt auch nur minimal entgegentreten denke ich.

Was ich aber ehrlich gesagt so ein klein bisschen schade finde:

Viele bekannte und weit verbreitete „Rechentricks“ speziell für Division durch 7, 11, 13 oder 19 sind eigentlich nur Spezialfälle dieser Methode. Natürlich absolut berechtigt und ich liebe unter anderem den folgenden Channel, aber der folgende nette Trick ist eine direkte Folge aus 19*5=95:

Ich beende diesen Post heute mit einer Challenge:

Schreibt in die Kommentare bitte eine Methode, das Produkt der ersten 8 Primzahlen im Kopf auszurechnen:

    \[\boxed{2*3*5*7*11*13*17*19=??}\]

Als Tipp gebe ich euch nur eine Quadratzahl mit auf den Weg: 18^2=324. Das war, wenn ihr euch geschickt anstellt, nämlich schon der komplizierteste Teil dieser ganzen Rechnung. 😉

In 14 Tagen werde ich dann endlich etwas dazu schreiben, was Mathematiker eigentlich am meisten interessiert, nämlich die Frage, warum so gerechnet werden darf. Dies finde ich auch einen schönen und relativ übersichtlichen Einstieg in das mathematische Beweisen, wir werden uns hierbei den schon letzte Woche versprochenen Hund als Freund und Helfer für den Beweis mit ins Boot nehmen – stay tuned 😉

Dieser Beitrag hat einen Kommentar

  1. Alexx

    Hey Tim,

    cooler Trick, kannte ich noch nicht! Die Überträge können schnell nerven, da sind mir die Rechnungen mit d = 1 am liebsten 😉

    Zur Challenge: hab mir sagen lassen, 7*11*13 sei 1001 (keine Ahnung wo ich das her hab…), 17*19 rechne ich 18^2-1^2 (3. Binomische Formel).
    323*3 =969
    969*1001=969969 und
    969969*(2*5)=9699690

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